区間(くかん)

自然数(しぜんすう)

集合のぬり絵をしよう で「自然数(しぜんすう)」という言葉が出てきましたが、おぼえていますか。 \(1, 2, 3, \ldots\) とむげんにつづく数のことを自然数(しぜんすう)というのでした。 自然数ぜんたいの集合を \(\mathbb{N}\) という文字であらわします。

\[\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, ... \}\]

いくつか例をあげてみましょう。

  • 7 は自然数なので、 \(7 \in \mathbb{N}\) です。
  • 0.5 は自然数ではないので、 \(0.5 \notin \mathbb{N}\) です。
  • -3 は自然数ではないので、 \(-3 \notin \mathbb{N}\) です。
  • 99999 は自然数なので、 \(99999 \in \mathbb{N}\) です。

区間(くかん)

\(\mathbb{N}\) という集合には無限(むげん)につづく自然数がぜーーーんぶ入っています。 なんだかスゴイのですが、ちょっと大きすぎる気もします。

たとえば 3 から 8 までの数が入った集合はどう書けばよいでしょうか。 つぎのように書くのがカンタンですね。

\[A = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}\]

これでもよいのですが、ここでは別の書き方を学んでみましょう。 つぎのような書き方もあります。

\[A = \{n \mid n \in \mathbb{N},\ 3 \leq n \leq 8 \}\]

うわっ!これはふくざつでむずかしそうですね。少しずつせつめいしていきましょう。 まず、たての線の左がわに注目すると、つぎのような形をしています。

\[A = \{n \mid \cdots\}\]

これは「A は n の集まり(集合)」ということをあらわしています。 「その n ってなんなの?」と思いますよね。それがたての線の右がわに書いてあります。

まず、\(n \in \mathbb{N}\) と書いてありますね。 これはつまり、「n は自然数である」という意味です。

次に \(3 \leq n \leq 8\) と書いてありますね。 これは \(3 \leq n\)\(n \leq 8\) をまとめて一つにした式で、 「n は 3 以上 8 以下」という意味です。

以上を合わせると、Aは「3以上8以下の自然数 n を集めたもの」という意味になります。 うーん、むずかしいかな…?

ちょっと式がふくざつでめんどうなので、\(n\in\mathbb{N}\) をはぶいて次のようにみじかく書くことにします。

\[A = \{n \mid 3 \leq n \leq 8 \}\]

この集合を「数のタイル」にぬり絵してみましょう。

../../_images/set_numline-fig01.png

次の集合もぬり絵してみましょう。

\[B = \{n \mid 5 \leq n \leq 10 \}\]

カップとキャップの集合についてもぬり絵をかんがえてみましょう。

\[A \cup B, \quad A \cap B\]