「かつ」と「または」

論理(ろんり)では合っていることを T、まちがっていることを F とあらわすのでした。

この T と F についても「計算」ができます。 それが \(\land\) (かつ)と \(\lor\) (または)です。

\(\land\) (かつ)の計算

\(\land\) の計算ルールは次のとおりです。

\[\begin{split}T \land T = T \\ T \land F = F \\ F \land T = F \\ F \land F = F \\\end{split}\]

\(\land\) の右と左がどちらも T のときだけ、こたえが T になります。 右と左のどちらかかたほうでも F だと、こたえは F になります。

\(\land\) T F
T T F
F F F

れいだい1

では次の式が T か F か(つまり合っているかまちがっているか)、かんがえてみましょう。

\[(1 + 2 = 3) \land (3 \times 2 > 5)\]

まず \(\land\) の左は \(1 + 2 = 3\) となっています。これは合っていますね! つまり左は T ですから、次のように書きかえられます。

\[T \land (3 \times 2 > 5)\]

次に \(\land\) の右を見ると、\(3\times 2 > 5\) となっています。 これも合っているので、右も T ですね! ですから次のように書きかえられます。

\[T \land T\]

\(\land\) の右と左がどちらも T になったので、こたえは T です。

れいだい2

もうひとつやってみましょう。つぎの式はどうでしょうか。

\[(4 = 6 - 2) \land (3 > 2 \times 2)\]

まず \(\land\) の左は \(4 = 6 - 2\) となっています。 これは合っているので、左は T です。 ですから式は次のように書きかえられます。

\[T \land (3 > 2 \times 2)\]

次に \(\land\) の右を見ると、\(3 > 2 \times 2\) となっています。 これはまちがっていますね! ですから次のように書きかえられます。

\[T \land F\]

かたほうが F になったので、こたえは F です。

\(\lor\) (または)の計算

\(\lor\) の計算ルールは次のとおりです。

\[\begin{split}T \lor T = T \\ T \lor F = T \\ F \lor T = T \\ F \lor F = F \\\end{split}\]

\(\lor\) の右と左がどちらも F のときだけ、こたえが F になります。 右と左のどちらかかたほうでも T だと、こたえは T になります。

\(\lor\) T F
T T T
F T F

れいだい3

では次の式が T か F か(つまり合っているかまちがっているか)、かんがえてみましょう。

\[(3 - 2 = 0) \lor (3 \times 2 > 5)\]

まず \(\lor\) の左は \(3 - 2 = 0\) となっています。これはまちがっています! つまり左は F ですから、次のように書きかえられます。

\[F \lor (3 \times 2 > 5)\]

次に \(\land\) の右を見ると、\(3\times 2 > 5\) となっています。 これは合っているので、右は T ですね! ですから次のように書きかえられます。

\[F \lor T\]

\(\lor\) の右が T なので、こたえは T です。

もんだい

  • \((1 + 1 = 2) \land (2 + 3 = 5)\)
  • \((1 > 2) \lor (3 < 2)\)
  • \((2 \times 3 = 8) \land (3 \times 4 = 12)\)
  • \((2 \times 3 = 8) \lor (3 \times 4 = 12)\)