集合の計算をしよう

数の計算は学校でいろいろ習っていますね。

\(a\)\(b\) という2つの数があると、次の4つの計算ができます。

  • たし算: \(a + b\)
  • ひき算: \(a - b\)
  • かけ算: \(a \times b\)
  • わり算: \(a \div b\)

数と同じように、集合の「計算」もあるのです。 \(A\)\(B\) という2つの集合があると、次の2つの「計算」ができます。

  • \(A \cap B\) … キャップ
  • \(A \cup B\) … カップ

なにやら見たことがない記号が出てきてむずかしそうに見えますね。 とっても数学っぽいかんじがしてきましたね。 でも、実はこの2つ、とてもかんたんです。

\(\cap\) という記号は「キャップ」と読みます。キャップというのは「ふた」とか「ぼうし」という意味です。たしかにフタのような形をしていますね。

\(\cup\) という記号は「カップ」と読みます。コーヒーカップとかティーカップのカップです。コップのような形をしていますね。

準備として次の2つの集合を用意しておきます。

\[\begin{split}A &= \{ 🍌, 🍊, 🍈, 🍇 \} \\ B &= \{ 🍎, 🍌, 🍇, 🍒, 🍑 \}\end{split}\]

キャップ(\(\cap\))の計算をしよう

上のくだものの集合をよく見て、\(A\)\(B\) の両方に入っているくだものを探してみましょう。

バナナ🍌は両方に入っていますか? ミカン🍊はどうでしょうか? メロン🍈はどうでしょうか? こんなふうにして、両方に入っているくだものを全部探してみましょう。

できましたか? 答えは🍌と🍇ですね。これがキャップです。

\[A \cap B = \{ 🍌, 🍇 \}\]

こんなふうにキャップの計算では、2つの集合の両方に入っているものを全部ならべます。

カップ(\(\cup\))の計算をしよう

こんどはカップの計算です。

まず \(A\)\(B\) のくだものを全部ならべてみましょう。

\[🍌, 🍊, 🍈, 🍇, 🍎, 🍌, 🍇, 🍒, 🍑\]

ここで集合のルールを思い出してください。 集合には同じものを2個以上入れてはいけないというルールがあるのでした。

この集まりにはバナナ🍌とブドウ🍇が2個ずつ入っているので、集合のルールを守っていません。ルールを守るように直してみましょう。

できましたか?🍌と🍇が1つずつになるように減らせば良いですね。これがカップです。

\[A \cup B = \{ 🍌, 🍊, 🍈, 🍇, 🍎, 🍒, 🍑 \}\]

練習問題

問題1

次の2つの集合

\[\begin{split}A &= \{ ♣, ♦, ♥ \} \\ B &= \{ ♠, ♥ \}\end{split}\]

のキャップとカップを作って下さい。

\[\begin{split}A \cap B &= \{ \qquad ? \qquad \} \\ A \cup B &= \{ \qquad ? \qquad \}\end{split}\]

問題2

次の2つの集合

\[\begin{split}A &= \{ 1, 2, 3 \} \\ B &= \{ 4, 5, 6 \}\end{split}\]

のキャップとカップを作って下さい。

\[\begin{split}A \cap B &= \{ \qquad ? \qquad \} \\ A \cup B &= \{ \qquad ? \qquad \}\end{split}\]

問題3

  • タケシくんとケイコちゃんは国語が得意です。
  • ケイコちゃんとコウタくんは算数が得意です。
  • エミちゃんは国語も算数も得意ではありません。
  1. 国語が得意な人の集合 \(A\) を作って下さい。
  2. 算数が得意な人の集合 \(B\) を作って下さい。
  3. \(A \cap B\) はどういう人の集合でしょうか。
  4. \(A \cup B\) はどういう人の集合でしょうか。