集合(しゅうごう)をやってみよう

数学は「論理(ろんり)の学問」と書いてきました。

その論理(ろんり)をきちんと考えるために、数学では「集合(しゅうごう)」という考え方を使います。集合はとても大事な考え方なのですが、じつは学校では高校生にならないと習いません。でも、集合のきほんはとてもカンタンで、小学生でも分かるとお父さんは思っています。

集合ってなんだろう

集合とは「ものの集まり」のことです。

どんなものでも集めて集合にすることができます。 たとえば、いくつかのくだものを集めて集合を作ってみましょう。

\[A = \{ 🍎, 🍊, 🍌, 🍇 \}\]

これは、リンゴとミカンとバナナとブドウを集めた集合を作って、それに A という名前をつけた、という意味です。

次は、トランプのマークを集めて集合を作ってみましょう。

\[B = \{ ♠, ♣, ♥, ♦ \}\]

これは、スペードとクラブとハートとダイヤを集めて B という名前をつけた、という意味になります。

ではこんどは「ひらがな」を全部集めた集合を作ってみましょう。(といっても全部書くと長いので、途中はとばしました)

\[C = \{ あ, い, う, ..., わ, を, ん \}\]

数学はもちろん「数」を考えることが多いので、次のように数の集合を考えることも多いです。

\[D = \{ 1, 3, 7 \}\]

こんなふうに、どんなものでも集めて集合にすることができます。

数の集まりはいかにも数学らしいかんじがしますね。でも、くだものを集めても生き物を集めても文字を集めても、何を集めてもいいのです。 数学はとっても自由なのです。

※ 「どんなものでも集めて集合にすることができる」というのは、実はほんのちょっぴりウソが入っています。ほんとうは集合にすることができないものもあるのです。でもこれはむずかしいので、もっと大きくなったときに勉強してみてください。

集合のルール

数学はとっても自由だ、と書きました。 どんなものでも集めて集合を作ることができる、と書きました。

しかし、集合を作るためにはひとつ守らなくてはならないルールがあります。 それは、中に同じものを2個以上入れてはいけない、というルールです。

たとえば、次の集まりは集合のルールを守っていないので、集合とはいえません。

\[\{ 🍎, 🍊, 🍌, 🍇, 🍌 \}\]

どこがダメか分かりましたか?

この集まりにはバナナ(🍌)が2個入っています。 同じものが2個入っているので、これは集合のルールを守っていません。 ですのでこれは集合ではありません。

次の集まりも集合のルールを守っていません。

\[\{ 0, 1, 6, 2, 1, 3, 0, 1 \}\]
  1. どこがダメか見つけてみましょう。
  2. 集合のルールを守るように直してみましょう。

順番は気にしない

集合では、順番は気にしてはいけません。 次の2つの集合を見てみましょう。

\[\begin{split}A = \{ 🍎, 🍊, 🍌, 🍇 \} \\ B = \{ 🍊, 🍇, 🍎, 🍌 \}\end{split}\]

\(A\)\(B\) のどちらも中身はリンゴ🍎とミカン🍊とバナナ🍌とブドウ🍇です。ただ、ならんでいる順番がちがっています。

\(A\)\(B\) は同じ集合だと思いますか?それともちがう集合だと思いますか?

答えは「同じ」です。 集合では、ならんでいる順番は気にしません。 どんな順番でならんでいても、中身が同じならば「同じ集合」になります。 つまり、

\[A = B\]

です。

では問題です。次のリストから同じ集合をさがしてみましょう。

\[\begin{split}A_1 &= \{ 1, 2, 3, 4 \} \\ A_2 &= \{ 1, 3, 5, 7 \} \\ A_3 &= \{ 5, 3, 7, 9, 1 \} \\ A_4 &= \{ 2, 4, 1, 3 \} \\ A_5 &= \{ 9, 7, 5, 3, 1 \}\end{split}\]