曲線の曲率

円弧で実験

次式は2次元平面上の半径 \(r\) の円弧である。

\[\begin{split}p(s) = r \left( \begin{array}{c} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \end{array}\right) \\\end{split}\]

パラメータ \(s\) は弧長パラメータとなっている。 これを確かめるには、速度ベクトルの絶対値 \(||\dot{p(s)}||\) が 1 であることを確認すれば良い。

\[\begin{split}\dot{p(s)} &= \left( \begin{array}{c} -\sin\frac{s}{r} \\ \cos\frac{s}{r} \end{array}\right) \\ ||\dot{p(s)}|| &= \sqrt{\sin^2\frac{s}{r} + \cos^2\frac{s}{r}} = 1\end{split}\]

以上より、\(s\) が弧長パラメータになっていることが確かめられた。

さて、2回微分すると次式が得られる。

\[\begin{split}\ddot{p(s)} &= -\frac{1}{r} \left( \begin{array}{c} \cos\frac{s}{r} \\ \sin\frac{s}{r} \end{array}\right) \\ ||\ddot{p(s)}|| &= \frac{1}{r}\end{split}\]

以上より、円弧を弧長パラメータで2回微分すると半径の逆数が得られることが分かった。

曲率の定義

弧長パラメータ \(s\) によってパラメトリック表現された一般の曲線

\[\begin{split}p(s) = \left(\begin{array}{c} x(s) \\ y(s) \end{array}\right), \quad ||\dot{p(s)}|| = 1\end{split}\]

に対して、曲率 \(\kappa(s)\) を次式で定義する。

\[\kappa(s) = ||\ddot{p(s)}||\]

既に確かめたように、\(p(s)\) が円弧の場合には曲率は半径の逆数となる。

二次曲線

次式の二次曲線(放物線)の、原点における曲率を求めたい。

\[y = \frac{1}{2}ax^2\]

これをパラメータ表示すると次式となる。

\[\begin{split}p(t) = \left(\begin{array}{c}t \\ (1/2)at^2\end{array}\right)\end{split}\]

この1回微分(速度ベクトル)を計算すると次式が得られる。

\[\begin{split}\dot{p(t)} = \left(\begin{array}{c}1 \\ at \end{array}\right), \quad ||\dot{p(t)}|| = \sqrt{1 + (at)^2}\end{split}\]

\(||\dot{p(t)}|| \neq 1\) より \(t\) は弧長パラメータではない。 しかし、\(t=0\) の場合には \(||\dot{p(0)} = 1\) であるため、原点においては弧長パラメータになっている。 従って、原点における曲率は \(t\) で2回微分することにより求めることができる。

\[\begin{split}&\ddot{p(t)} = \left(\begin{array}{c}0 \\ a\end{array}\right) \\ &\kappa(0) = ||\ddot{p(0)}|| = a\end{split}\]

※ (注意)原点以外では単純に2回微分しても曲率は求まらない。

一般化

二次曲線の例を一般化し、原点でx軸に接する滑らかな(2回以上微分可能な)曲線を考える。

\[y = f(x), \quad f(0) = f'(0) = 0\]

これをテイラー展開すると次式が得られる。

\[\begin{split}f(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + O(x^3) \\ &= \frac{1}{2}f''(0)x^2 + O(x^3)\end{split}\]

二次曲線の結果と見比べると、原点における曲率は次のように求まる。

\[\kappa(0) = f''(0)\]