驚異の定理

基礎方程式

既に \(||e|| = 1\) の両辺を微分することにより \(de\cdot e = 0\) という関係を導出した。

これを一般化して、\(e = e_3\) と置いてから \(e_i\cdot e_j = \delta_{ij}\) の両辺を微分することで得られる関係を探っていく。

\[\begin{split}\begin{array}{rl} & e_i\cdot e_j = \delta_{ij} \\ \rightarrow & d(e_i\cdot e_j) = 0 \\ \rightarrow & de_i\cdot e_j + e_i\cdot de_j = 0 \\ \end{array}\end{split}\]

ここで、各 \(de_i\) は正規直交基底 \(\{e_1, e_2, e_3\}\) の一次結合で書ける。

\[\begin{split}&(de_1\ de_2\ de_3) = (e_1\ e_2\ e_3)\left( \begin{array}{ccc} \omega_1^1 & \omega_2^1 & \omega_3^1 \\ \omega_1^2 & \omega_2^2 & \omega_3^2 \\ \omega_1^3 & \omega_2^3 & \omega_3^3 \\ \end{array}\right) \\ &\Leftrightarrow de_i = \sum_{k=1}^3 \omega_i^k e_k\end{split}\]

これを代入すると、

\[\begin{split}\begin{array}{rl} & de_i\cdot e_j + e_i\cdot de_j = 0 \\ \rightarrow & (\sum\omega_i^k e_k)\cdot e_j + e_i\cdot(\sum\omega_j^k e_k) = 0 \\ \rightarrow & \omega_i^j + \omega_j^i = 0 \end{array}\end{split}\]

以上により \(\omega_i^j\) は反対称行列であり、特に \(i = j\) とすると \(\omega_i^i = 0\) であることが分かる。

\[\begin{split}(de_1\ de_2\ de) = (e_1\ e_2\ e)\left( \begin{array}{ccc} 0 & \omega & \omega^1 \\ -\omega & 0 & \omega^2 \\ -\omega^1 & -\omega^2 & 0 \\ \end{array}\right)\end{split}\]

ただし、

\[\omega = \omega_2^1,\quad \omega^1 = \omega_3^1,\quad \omega^2 = \omega_3^2\]

と置いた。筆者は添字が増えてくると目が滑って頭に入らなくなってくるので、出来るだけ添え字が減るように書き換えてみた。 しかし高次元への拡張を考えると添字による表記のほうが汎用性が高いのだと思う。

ここで、\(\omega_i^j\) は1次微分形式である。 このことは、\(de_i\) が次のような1次微分形式であることから明らかである。

\[de_i = \frac{\partial e_i}{\partial u}du + \frac{\partial e_i}{\partial v} dv\]

これはすなわち、\(\omega_i^j\) は正規直交基底に座標変換した1-形式 \(\theta^1, \theta^2\) の線形和として表せることを意味している。

実際、前章で得られた次の式、

\[\begin{split}de = -(e_1\ \ e_2)P\left(\begin{array}{c}\theta^1\\ \theta^2\end{array}\right)\end{split}\]

と見比べると次式のように \(\omega^1, \omega^2\)\(\theta^1, \theta^2\) の線形和として得られる。

\[\begin{split}\left(\begin{array}{c}\omega^1\\ \omega^2\end{array}\right) = -P\left(\begin{array}{c}\theta^1\\ \theta^2\end{array}\right)\end{split}\]

\(\omega\) についても同様に線形和の形に書き表しておくことにする。

\[\omega = p_1\theta^1 + p_2\theta^2\]

第1構造式

\(ddp = 0\) より導出する。

\[\begin{split}0 &= ddp \\ &= d(\theta^1 e_1 + \theta^2 e_2) \\ &= (d\theta^1 e_1 - \theta^1\wedge de_1) + (d\theta^2 e_2 - \theta^2\wedge de_2) \\ &= (d\theta^1 e_1 - \theta^1\wedge (-\omega e_2 - \omega^1 e_3)) + (d\theta^2 e_2 - \theta^2\wedge (\omega e_1 - \omega^2 e_3)) \\ &= (d\theta^1 - \theta^2\wedge \omega)e_1 + (d\theta^2 + \theta^1\wedge \omega)e_2 + (\theta^1\wedge\omega^1 + \theta^2\wedge\omega^2)e_3 \\ &= (d\theta^1 + p_1 \theta^1\wedge\theta^2)e_1 + (d\theta^2 + p_2 \theta^1\wedge\theta^2)e_2 + ((p_{12} - p_{21})\theta^1\wedge\theta^2)e_3 \\\end{split}\]

以上より

\[\begin{split}d\theta^1 &= -p_1\theta^1\wedge\theta^2 \\ d\theta^2 &= -p_2\theta^1\wedge\theta^2 \\\end{split}\]
\[p_{12} = p_{21}\]

第2構造式

\(dde_i = 0\) より導出する。

\[\begin{split}0 &= dde_1 \\ &= d(-\omega e_2 - \omega^1 e) \\ &= -d\omega e_2 + \omega\wedge de_2 - d\omega^1 e + \omega^1\wedge de \\ &= -d\omega e_2 + \omega\wedge (\omega e_1 - \omega^2 e) -d\omega^1 e + \omega^1\wedge(\omega^1 e_1 + \omega^2 e_2) \\ &= -(d\omega - \omega^1\wedge\omega^2)e_2 - (d\omega^1 + \omega\wedge\omega^2)e \\ 0 &= dde_2 \\ &= \ldots \\ &= (d\omega - \omega^1\wedge\omega^2)e_1 - (d\omega^2 - \omega\wedge\omega^1)e\end{split}\]

以上より次の関係式(コダッチの方程式)が得られる。

\[\begin{split}d\omega &= \omega^1\wedge\omega^2 \\ d\omega^1 &= -\omega\wedge\omega^2 \\ d\omega^2 &= \omega\wedge\omega^1\end{split}\]

特に、最初の式を計算すると次の第2構造式が得られる。

\[d\omega = K \theta^1\wedge\theta^2\]

驚異の定理

今までは曲面の式 \(p(u, v)\) から第1基本形式を導出していた。

ここでは次の第1基本形式が所与のものとしてあり、 それのみからガウス曲率が導出できることを確認する。

\[\begin{split}\mathrm{I} = (du\ \ dv)G_{\mathrm{I}} \left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right)\end{split}\]

※ 以下は筆者が自分で試行錯誤して導出したものなので、誤りが含まれているかもしれません。

座標変換

\(G_{\mathrm{I}}\) は対称行列であるため、これを対角化する直交行列 \(R\) が存在する。

\[\begin{split}R^TG_{\mathrm{I}}R = \left(\begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right)\end{split}\]

従って次の座標変換

\[\begin{split}\left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right) = Q \left(\begin{array}{c}\theta^1 \\ \theta^2\end{array}\right) ,\quad Q = R \left(\begin{array}{cc} 1/\sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{\lambda_2} \end{array}\right)\end{split}\]

を適用すると第1基本形式は次式となる。

\[\begin{split}\mathrm{I} = (\theta^1\ \ \theta^2)Q^TG_{\mathrm{I}}Q \left(\begin{array}{c}\theta^1 \\ \theta^2\end{array}\right) = \theta^1\theta^1 + \theta^2\theta^2\end{split}\]

今までの議論に合わせて座標変換を逆に解くと次式となる。

\[\begin{split}\left(\begin{array}{c}\theta^1 \\ \theta^2\end{array}\right) = A \left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right), \quad A = \left(\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) = Q^{-1} = \left(\begin{array}{cc} \sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} \end{array}\right) R^T\end{split}\]

この行列式は次式となる。

\[|A| = \sqrt{\lambda_1\lambda_2} = \sqrt{|G_{\mathrm{I}}|}\]

この行列 \(A\) は第一基本形式 \(G_{\mathrm{I}}\) のみで定まることに注目されたい。

第1構造式の適用

座標変換の式から次式が得られる。

\[\begin{split}d\theta^1 &= d(a_{11}du + a_{12}dv) = \left(\frac{\partial a_{12}}{\partial u} - \frac{\partial a_{11}}{\partial v}\right) du\wedge dv \\ d\theta^2 &= d(a_{21}du + a_{22}dv) = \left(\frac{\partial a_{22}}{\partial u} - \frac{\partial a_{21}}{\partial v}\right) du\wedge dv\end{split}\]
\[\theta^1\wedge\theta^2 = (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})du\wedge dv = |A| du\wedge dv\]

一方、第1構造式より次式が得られる。

\[\begin{split}d\theta^1 &= -p_1\theta^1\wedge\theta^2 = -p_1 |A| du\wedge dv \\ d\theta^2 &= -p_2\theta^1\wedge\theta^2 = -p_2 |A| du\wedge dv \\\end{split}\]

以上の式を見比べると

\[\begin{split}p_1 = -\frac{1}{|A|} \left(\frac{\partial a_{12}}{\partial u} - \frac{\partial a_{11}}{\partial v}\right) \\ p_2 = -\frac{1}{|A|} \left(\frac{\partial a_{22}}{\partial u} - \frac{\partial a_{21}}{\partial v}\right) \\\end{split}\]

第2構造式の適用

以上より、\(\omega\)\(u, v\) の関数として次のように表すことが出来る。

\[\begin{split}\omega &= p_1\theta^1 + p_2\theta^2 \\ &= -\frac{1}{|A|}\left( \frac{\partial a_{12}}{\partial u} - \frac{\partial a_{11}}{\partial v} \quad \frac{\partial a_{22}}{\partial u} - \frac{\partial a_{21}}{\partial v}\right) A \left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right)\end{split}\]

これを微分すれば第2構造式より次の形でガウス曲率が得られる。

\[d\omega = K|A|du\wedge dv\]

以上のように、曲面の法線ベクトルなどの外在的な情報は一切使用せずに 第1基本形式のみからガウス曲率を導出することができる。

\(G_{\mathrm{I}}\) が対角行列の場合

検算として \(G_{\mathrm{I}}\) が対角行列の場合についてガウス曲率を計算してみよう。

\[\begin{split}G_{\mathrm{I}} = \left(\begin{array}{cc}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{array}\right)\end{split}\]

このとき座標変換行列は次式となる。

\[\begin{split}A = \left(\begin{array}{cc} \sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} \end{array}\right)\end{split}\]

これを \(\omega\) の式に代入すると

\[\begin{split}\omega &= -\frac{1}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}} \left(-\frac{\partial\sqrt{\lambda_1}}{\partial v} \quad \frac{\partial\sqrt{\lambda_2}}{\partial u}\right) \left(\begin{array}{cc} \sqrt{\lambda_1} & 0 \\ 0 & \sqrt{\lambda_2} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}}\frac{\partial\sqrt{\lambda_1}}{\partial v}du - \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}\frac{\partial\sqrt{\lambda_2}}{\partial u}dv\end{split}\]

これを微分すると次式が得られる。

\[d\omega = -\left\{ \frac{\partial}{\partial v}\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \frac{\partial\sqrt{\lambda_1}}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial u}\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \frac{\partial\sqrt{\lambda_2}}{\partial u} \right) \right\}du\wedge dv\]

以上より、ガウス曲率は次式となる。

\[K = -\frac{1}{\sqrt{\lambda_1\lambda_2}} \left\{ \frac{\partial}{\partial v}\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} \frac{\partial\sqrt{\lambda_1}}{\partial v} \right) + \frac{\partial}{\partial u}\left( \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} \frac{\partial\sqrt{\lambda_2}}{\partial u} \right) \right\}\]

これは教科書の式(「ベクトル解析からの幾何学入門」の(3.23)式)と一致する。