パラメータ表示された曲面

曲面のパラメータ表示と接平面

今までは \(z=f(x, y)\) の形式で書ける曲面の原点周りの曲率について調べてきた。 ここからは更に一般化して、パラメータ表示された曲面の任意の点における曲率を調べていく。

パラメータ \(u, v\) を使って3次元空間中の曲面は次のように表すことが出来る。

\[p(u, v) = \left(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\right)\]

この曲面上の点 \((u, v)\) における接平面は次の2つのベクトルによって張られる。

\[p_u = \frac{\partial p}{\partial u}, \quad p_v = \frac{\partial p}{\partial v}\]

接平面の法線ベクトルは

\[e = \frac{p_u\times p_v}{||p_u \times p_v||}\]

3つのベクトル \(p_u, p_v, e\) は独立であり、1つの座標系をなしている(ただし正規直交系とは限らない)。

第1基本形式

接平面上の2つのベクトル \(dp_1, dp_2\) の内積を考える。

\[\begin{split}dp_1 = p_u du_1 + p_v dv_1 = \left(p_u\ \ p_v\right) \left(\begin{array}{c}du_1 \\ dv_1\end{array}\right) \\ dp_2 = p_u du_2 + p_v dv_2 = \left(p_u\ \ p_v\right) \left(\begin{array}{c}du_2 \\ dv_2\end{array}\right)\end{split}\]

これらの内積は次式となる。

\[\begin{split}dp_1\cdot dp_2 &= (du_1\ dv_1)\left(\begin{array}{c}p_u^T \\ p_v^T\end{array}\right)(p_u\ p_v)\left(\begin{array}{c}du_2 \\ dv_2\end{array}\right) \\ &= (du_1\ dv_1)\left(\begin{array}{cc}||p_u||^2 & p_u\cdot p_v \\ p_u\cdot p_v & ||p_v||^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}du_2\\dv_2\end{array}\right)\end{split}\]

ここで出てきた行列は、接平面上での内積をUV平面上で考えるための計量行列である。 以上を踏まえ、次式を第一基本形式と定める。

\[\begin{split}\mathrm{I} = ||dp||^2 = (du\ dv)G_{\mathrm{I}}\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right) ,\quad G_{\mathrm{I}} = \left(\begin{array}{cc}||p_u||^2 & p_u\cdot p_v \\ p_u\cdot p_v & ||p_v||^2\end{array}\right)\end{split}\]

第2基本形式

\((u, v)\) における接平面の座標系 \(\{p_u, p_v, e\}\) を基底ベクトルとして、\((u, v)\) 近傍の曲面を次の形で表現できる。

\[p(u + u', v + v') = p(u, v) + u' p_u + v' p_v + f(u', v') e\]

一方、\(p(u + u', v + v')\) を2次の項までテイラー展開すると次式が得られる。

\[\begin{split}p(u + u', v + v') \simeq p(u, v) + u'p_u + v'p_v + \frac{1}{2}(u'\ \ v')\left( \begin{array}{cc}p_{uu} & p_{uv} \\ p_{vu} & p_{vv}\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}u' \\ v'\end{array}\right)\end{split}\]

これら2式を合わせると、\(f(u', v')\) は次のように求まる。

\[\begin{split}f(u', v') &= \left(p(u + u', v + v') - p(u, v)\right)\cdot e \\ &= \left\{ u'p_u + v'p_v + \frac{1}{2}(u'\ \ v')\left( \begin{array}{cc}p_{uu} & p_{uv} \\ p_{vu} & p_{vv}\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}u' \\ v'\end{array}\right) \right\}\cdot e \\ &= \frac{1}{2}(u'\ \ v')\left(\begin{array}{cc} p_{uu}\cdot e & p_{uv}\cdot e \\ p_{vu}\cdot e & p_{vv}\cdot e \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u' \\ v'\end{array}\right)\end{split}\]

以上を元に、第2基本形式を次式で定める。

\[\begin{split}\mathrm{II} = (du\ \ dv)G_{\mathrm{II}}\left(\begin{array}{c}du\\dv\end{array}\right) ,\quad G_{\mathrm{II}} = \left(\begin{array}{cc} p_{uu}\cdot e & p_{uv}\cdot e \\ p_{vu}\cdot e & p_{vv}\cdot e \end{array}\right)\end{split}\]

ただし座標系が正規直交系ではないため、この行列の行列式やトレースから単純にガウス曲率や平均曲率が得られるわけではない。 曲率の計算については後述する。 また、正規直交基底は次章で導入する。

第2基本形式の変形

法線ベクトル \(e\)\(p_u, p_v\) と直交する。

\[\begin{split}p_u\cdot e = 0 \\ p_v\cdot e = 0\end{split}\]

この2式を次のようにひとつの式にまとめて、

\[\begin{split}\left(\begin{array}{c}p_u \\ p_v\end{array}\right)\cdot e = 0\end{split}\]

この両辺を微分すると次式が得られる。

\[\begin{split}0 &= d\left(\begin{array}{c}p_u \\ p_v\end{array}\right)\cdot e + \left(\begin{array}{c}p_u \\ p_v\end{array}\right)\cdot de \\ &= \left(\begin{array}{cc} p_{uu} & p_{uv} \\ p_{vu} & p_{vv} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right)\cdot e + \left(\begin{array}{c}p_u \\ p_v\end{array}\right)\cdot (e_u\ \ e_v)\left(\begin{array}{c}du \\ dv\end{array}\right) \\ &= \left\{ \left(\begin{array}{cc} p_{uu}\cdot e & p_{uv}\cdot e \\ p_{vu}\cdot e & p_{vv}\cdot e \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}p_u^T \\ p_v^T\end{array}\right)(e_u\ \ e_v) \right\} \left(\begin{array}{c}du\\dv\end{array}\right) \\ &= \left\{G_{\mathrm{II}} + \left(\begin{array}{c}p_u^T \\ p_v^T\end{array}\right)(e_u\ \ e_v) \right\} \left(\begin{array}{c}du\\dv\end{array}\right) \\\end{split}\]

これを用いると、第2基本形式は次のように書き換えられる。

\[\begin{split}G_{\mathrm{II}} &= -\left(\begin{array}{c}p_u^T \\ p_v^T\end{array}\right)(e_u\ \ e_v) \\ \mathrm{II} &= - (du\ \ dv) \left(\begin{array}{c}p_u^T \\ p_v^T\end{array}\right)(e_u\ \ e_v) \left(\begin{array}{c}du\\dv\end{array}\right) \\ &= -dp\cdot de\end{split}\]

ここで \(e_u, e_v\) は接ベクトルである。 このことは \(||e||^2 = 1\) の両辺を微分することにより次のように確認できる。

\[\begin{split}0 &= de\cdot e + e\cdot de \\ &= 2(e_u du + e_v dv)\cdot e \\ \rightarrow & \quad e_u\cdot e = e_v\cdot e = 0\end{split}\]

従って、以上の式変形により第2基本形式が接ベクトルのみで表現されたことになる。

以上を整理すると、2つの基本形式は次式で与えられる。

\[\begin{split}\mathrm{I} &= ||dp||^2 \\ \mathrm{II} &= -dp\cdot de\end{split}\]

曲率の計算

次のような接ベクトル方向の曲率について考える。

\[X = \xi p_u + \eta p_v\]

この接ベクトルが単位ベクトルである条件は次式となる。

\[\begin{split}||X||^2 = 1 \Leftrightarrow (\xi\ \ \eta)G_{\mathrm{I}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) = 1\end{split}\]

この接ベクトル方向の曲率は次式のように第2基本形式で得られる。

\[\begin{split}\kappa(\xi, \eta) = (\xi\ \ \eta)G_{\mathrm{II}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right)\end{split}\]

この曲率の最大値・最小値を求めたい。 ラグランジュ未定乗数法により、接ベクトルが単位ベクトルという拘束条件のもとで上式の極値を求める。 まず下記のような関数を作り、

\[\begin{split}\Phi(\xi, \eta, \lambda) &= \kappa(\xi, \eta) - \lambda \left(||X||^2 - 1\right) \\ &= (\xi\ \ \eta)G_{\mathrm{II}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) - \lambda\left\{ (\xi\ \ \eta)G_{\mathrm{I}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) - 1 \right\} \\ &= (\xi\ \ \eta)(G_{\mathrm{II}} - \lambda G_{\mathrm{I}}) \left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) - \lambda\end{split}\]

次の条件で解く。

\[\begin{split}&\left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial\xi} \\ \frac{\partial}{\partial\eta} \end{array}\right) \Phi = (G_{\mathrm{II}} - \lambda G_{\mathrm{I}}) \left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) = 0 \\ \Leftrightarrow \quad &G_{\mathrm{II}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) = \lambda G_{\mathrm{I}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) \\ \Leftrightarrow \quad &G_{\mathrm{I}}^{-1}G_{\mathrm{II}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right)\end{split}\]

この式が \((\xi, \eta) = (0, 0)\) 以外の解を持つためには、次式の固有方程式を解けば良い。

\[\det (G_{\mathrm{I}}^{-1}G_{\mathrm{II}} - \lambda I) = 0\]

このとき、曲率は次式となる。

\[\begin{split}\kappa(\xi, \eta) &= \lambda\ (\xi\ \ \eta)G_{\mathrm{I}}\left(\begin{array}{c}\xi \\ \eta\end{array}\right) \\ &= \lambda\end{split}\]

つまり主曲率は \(G_{\mathrm{I}}^{-1}G_{\mathrm{II}}\) の固有値として得られるので、 ガウス曲率や平均曲率は次式となる。

\[\begin{split}K &= \det G_{\mathrm{I}}^{-1}G_{\mathrm{II}} = \frac{\det G_{\mathrm{II}}}{\det G_{\mathrm{I}}} \\ H &= \frac{1}{2}\mathrm{tr}\ G_{\mathrm{I}}^{-1}G_{\mathrm{II}} = \frac{1}{2}\mathrm{tr}\ G_{\mathrm{II}}G_{\mathrm{I}}^{-1}\end{split}\]

※ 一般に2つの行列 \(A, B\) に対して \(\det(AB) = \det A\det B\) および \(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\) が成り立つことを用いた。