加群のエッセンス

群論では、普通はまず積の演算が導入されて、その積が可換であるという特別な場合に限ってその演算を + 演算子で表記するように定義し直す、という形で加群が定義される。しかしホモロジーで必要となるのは加群の理論のみであるため、ここでは最初から加群を定義するというスタイルで進める。

加群の定義

\(G\) 上に加法が定義されているとする: \(\forall a, b\in G\ [a+b\in G]\)

次の性質を満たすとき \(G\) を加群という。

  • 零元の存在: \(\exists e\in G\ \forall g \in G\ [g + e = e + g = g]\)
  • 逆元の存在: \(\forall a\in G\ \exists b\in G\ [a+b = b+a = e]\)
  • 結合法則:\((a+b)+c = a+(b+c)\)
  • 可換: \(a + b = b + a\)

零元は 0 と書く。 元 \(a\) の逆元は \(-a\) と書く。

部分群

加群 G の部分集合 H が G の演算によって加群になるとき、H を部分群という。 H が部分群となる必要十分条件は次の3つ。

  • 零元を含む: \(0 \in H\)
  • 和について閉じている: \(\forall x, y\in H\ [x+y\in H]\)
  • 逆元について閉じている: \(\forall x\in H\ [-x \in H]\)

部分群による同値関係

H を G の部分群とする。 次のように \(x, y\in G\) の間に関係 \(\sim\) を定義する。

\[x \sim y \Leftrightarrow x-y\in H\]

これが同値関係となるためには次の3つを満たす必要がある。

  • (反射律) \(x\sim x\)
  • (対称律) \(x\sim y \Rightarrow y\sim x\)
  • (推移律) \(x\sim y, y\sim z \Rightarrow x\sim z\)

これは次のように示される。

  • \(x-x = 0 \in H\) より 反射律を満たす。
  • \(x-y\in H\Rightarrow y-x = -(x-y) \in H\) より対称律を満たす。
  • \(x-y\in H, y-z\in H \Rightarrow x-z = (x-y)+(y-z)\in H\) より推移律を満たす。

\(a\in G\) と同値な元の集合を同値類といい \([a]\) と書く。

\[[a] = \{x|x\sim a\}\]

この同値類の集合を \(G/H\) と表す。

商群

同値類同士の和を次のように定義することができる。

\[[a]+[b] = [a+b]\]

この定義が正当であるためには、同値類の代表元の選び方に依らない定義となっている必要がある。つまり、代表元として何を選んでも和の結果に影響しない定義となっている必要がある。すなわち、次の条件が成立しなくてはならない。

\[\forall x\in[a]\forall y\in[b]\left(x+y\in[a+b]\right)\]

(証明)

\[\begin{split}& a-x\in H, b-y\in H \\ \Rightarrow & (a+b)-(x+y) = (a-x)+(b-y) \in H \\ \Leftrightarrow & a+b \sim x+y\end{split}\]

こうして作られた群 \(G/H\) を商群という。

準同型写像

\(G, G'\) を群とし、写像 \(\phi : G \rightarrow G'\) を考える。 \(\forall x, y\in G\ [\phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y)]\) のとき、準同型写像という。

ここでは \(\phi\) と書いたら準同型写像を表すものとする。

(1) 準同型写像は単位元を単位元に写す

\[\phi(x) = \phi(x + 0) = \phi(x) + \phi(0)\]

より \(\phi(0) = 0\) でなくてはならないことが分かる。

(2) 準同型写像は逆元を逆元に写す

\[0 = \phi(0) = \phi(x-x) = \phi(x)+\phi(-x)\]

より \(\phi(-x) = -\phi(x)\) でなくてはならないことが分かる。

(3) 準同型写像の核は部分群となる

核は次のように定義される。

\[\mathrm{Ker}(\phi) = \{x\in G | \phi(x) = 0\}\]

核が部分群となることは下記のように示される。

  • \(0 \in \mathrm{Ker}(\phi)\) … (1) より
  • \(x, y\in \mathrm{Ker}(\phi) \Rightarrow \phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y) = 0\) より和について閉じている
  • \(x \in \mathrm{Ker}(\phi) \Rightarrow \phi(-x) = -\phi(x) = 0\) より逆元について閉じている

以上より、商群 \(G/\mathrm{Ker}(\phi)\) を考えることができる。

(4) 準同型写像の像は部分群となる

像は次のように定義される。

\[\mathrm{Im}(\phi) = \{\phi(x) | x\in G\}\]

像が部分群となることは下記のように示される。

  • \(0 \in \mathrm{Im}(\phi)\) … (1) より
  • \(\phi(x)+\phi(y) = \phi(x+y)\) より積について閉じている
  • \(-\phi(x) = \phi(-x)\) より逆元について閉じている

(5) 準同型定理

次を示す。ただし \(\cong\) は同型を表す。

\[G/\mathrm{Ker}(\phi) \cong \mathrm{Im}(\phi)\]

次の写像が同型写像であることを示せば良い。

\[\psi([x]) = \phi(x)\]

同型写像とは、準同型写像で逆写像を持ち、逆写像も準同型であるような写像である。 これを示すには \(\psi\) が準同型写像かつ全単射であることを示せば良い。 まず準同型写像であることは次式から分かる。

\[\psi([x]+[y]) = \psi([x+y]) = \phi(x+y) = \phi(x)+\phi(y) = \psi([x])+\psi([y])\]

明らかに \(\mathrm{Im}(\phi)=\mathrm{Im}(\psi)\) より全射。

単射であることは、 \(\psi([x])=\psi([y])\Rightarrow [x]=[y]\) を示せば良い。

\[\begin{split}&\psi([x])=\psi([y]) \\ \Rightarrow & \phi(x) = \phi(y) \\ \Leftrightarrow & 0 = \phi(x)-\phi(y) = \phi(x-y) \\ \Leftrightarrow & x-y \in \mathrm{Ker}(\phi) \\ \Leftrightarrow & x\sim y\end{split}\]

自由加群

\(g\in G\) に対して \(g+g = 2g, g + \cdots + g = ng\) などと書くことにする。

\[\exists u_1, u_2, \cdots, u_m\in G \ \forall g \in G \ \exists a_1, a_2, \cdots, a_m \in Z \ (g = a_1u_1 + a_2u_2 + \cdots + a_mu_m)\]

のとき、G は \(u_1, u_2, \cdots, u_m\) から生成されるといい、 \(u_1, u_2, \cdots, u_m\) を基底という。有限個の基底から生成される加群を有限生成加群という。

特に、この表し方が一義的であるとき、Gを自由加群という。すなわち自由加群とは:

\[(a_1,\cdots,a_m) \neq (b_1,\cdots,b_m) \Leftrightarrow \sum a_i u_i \neq \sum b_i u_i\]

自由加群ではないものの例として、位数 n の巡回群が挙げられる。この場合 \(ng=0\) という関係があるため表し方が一意ではなくなる。

自由加群 G の基底 \(u_i\) のみから生成される自由加群を \(G_i\) とすると

\[\begin{split}G &= G_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_m \\ &\cong Z\oplus Z\oplus\cdots\oplus Z\end{split}\]

【定理】有限生成自由加群の部分群は有限生成自由加群である